Cara Membuktikan dengan Induksi Matematika Sederhana

Kita telah menyinggung sedikit pembuktian dengan induksi matematika di dalam tulisan Cara Membuktikan dalam Matematika. Secara khusus kita akan membahas Cara Membuktikan dengan Induksi Matematika Sederhana.  “Induksi matematika adalah suatu metode pembuktian deduktif yang digunakan untuk membuktikan pernyataan matematika yang bergantung pada himpunan bilangan yang terurut rapi (well ordered set), seperti bilangan asli ataupun himpunan bagian tak kosong dari bilangan asli” (smatika.blogspot.com, induksi matematika).

Prinsip induksi matematika sederhana atau dikenal dengan Prinsip Induksi Matematika Pertama adalah sebagai berikut.

Misalkan {P(n): n $ \in N$} kumpulan pernyataan untuk setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan. Jika P(n=1) benar; dan jika P(n=k) benar mengakibatkan P(n=k+1) juga benar; Maka pernyataan P(n) benar untuk setiap n.

Dengan prinsip di atas, maka untuk membuktikan pernyataan P(n) benar untuk semua bilangan asli n, kita lakukan dengan dua langkah berikut ini.

  • Langkah pertama (langkah dasar): Tunjukkan P(n) benar untuk n=1.
  • Langkah kedua (langkah induksi): Tunjukkan jika P(n) benar untuk n=k mengakibatkan P(n) juga benar untuk n=k+1.
    Kesimpulan: P(n) benar untuk setiap bilangan asli n

Contoh Soal:

Buktikan $1 + 2+ 3 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}$, untuk setiap n bilangan asli.

Jawab :
$P(n) :  \ 1 + 2+ 3 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}$
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N

Langkah Pertama:
Akan ditunjukkan P(1) benar

$1= \frac{1(1+1)}{2}$
Jadi, P(1) benar

Langkah Kedua:
Asumsikan P(k) benar yaitu
$1 + 2+ 3 + ... + k = \frac{k(k + 1)}{2}$, k ∈ N
Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
$1 + 2+ 3 + ... + k+(k+1) = \frac{(k+1)((k+1) + 1)}{2}$

Dari asumsi, $1 + 2+ 3 + ... + k = \frac{k(k + 1)}{2}$
Tambahkan kedua ruas dengan uk+1:
$\begin{align} 1 + 2+ 3 + ... + k + (k+1) &= \frac{k(k + 1)}{2} +(k+1) \\ &= \frac{k(k + 1)+2(k+1)}{2} \\ &= \frac{(k + 1)(k+2)}{2} \\ &= \frac{(k + 1)((k+1)+1)}{2} \end{align}$
Jadi, P(k + 1) benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika pertama, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

Demikianlah postingan singkat kami yang berjudul “Cara Membuktikan dengan Induksi Matematika Sederhana”. Semoga dapat bermanfaat, terima kasih atas kunjungannya!

Comments

Popular posts from this blog

Membuktikan Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif

Cara Membuktikan Ketaksamaan Segitiga Nilai Mutlak

Cara Membuktikan Nilai Limit Menggunakan Definisi