Cara Membuktikan Nilai Limit Menggunakan Definisi

Sebelum kita membuktikan nilai limit suatu fungsi dengan menggunakan definisi, tentu kita harus mengetahui definisnya terlebih dahulu. Limit $f(x)$ untuk $x$ mendekati $c$ adalah $L$ ditulis $\lim_{x \rightarrow c} f(x)=L$ jika dan hanya jika:
Untuk setiap $\epsilon >0$ terdapat $\delta >0$ sedemikian sehingga jika $0 <|x-c|< \delta$ maka $|f(x)-L|<0$
Sebelum kita menggunakan definisi di atas, kita harus benar-benar memahami arti dari setiap kata dalam definisi tersebut agar kita dapat memahami definisi tersebut dengan benar. Limit dalam bahasa sehari-hari artinya batas. L adalah limit suatu fungsi f(x) maksudnya adalah batas dari nilai-nilai yang dihasilkan apabila kita memberikan nilai-nilai x yang mendekati nilai c ($x \neq c$) baik dari arah kiri maupun dari arah kanan. 

Misalnya, fungsinya adalah $f(x)=x-2$ maka nilai limitnya adalah 1 untuk nilai-nilai x yang mendekati 3; nilai limitnya adalah 2 untuk nilai-nilai x yang mendekati 4; nilai limitnya adalah -1 untuk nilai-nilai x yang mendekati 1. Apabila nilai-nilai yang diberikan semakin dekat dengan c yang dimaksud maka semakin jelas bahwa f(x) mendekati nilai L. Untuk itu jika L betul-betul limit dari f(x) untuk x mendekati c maka seharusnya, seberapa kecil pun jarak yang diberikan antara f(x) dengan L yang disimbolkan dengan $\epsilon$ maka pasti derdapat $\delta$ yang berpadanan dimana $\delta$ ini adalah jarak antara x dan c sehingga apabila $0<|x-c|< \delta$ maka mengakibatkan $|f(x)-L|< \epsilon$. Ingat bahwa tanda mutlak itu menyatakan jarak dan karena x tidak mempersyaratkan harus sama dengan c maka ditulis $0<|x-c|< \delta$. 

Oleh karena itu, untuk membuktikan nilai limit suatu fungsi $f(x)$ adalah L untuk $x$ mendekati suatu titik $c$ dengan menggunakan definisi maka kita harus menunjukan keberadaan $\delta >0$ jika diberikan sebarang $\epsilon >0$ dan menunjukkan bahwa apabila $0<|x-c|< \delta$ maka mengakibatkan $|f(x)-L| < \epsilon$.

Contoh:

Buktikan bahwa $\lim_{x \rightarrow 4} 3x-7 =5$

Analisis pendahuluan: Andaikan $\epsilon$ bilangan positif sebarang. Kita harus menghasilkan $\delta >0$ sedemikian sehingga jika $0 <|x-4|< \delta$ maka $|(3x-7)-5| < \epsilon$. Pandang ketaksamaan di sebelah kiri:

$\begin{align} |(3x-7)-5| < \epsilon ⇔ |3x-12| & < \epsilon \\ |3(x-4)| & < \epsilon \\ |3||x-4|  & < \epsilon \\ |x-4| & < \frac{ \epsilon}{3} \end{align}$

Sekarang kita lihat bagaimana memilih $\delta$, yakni $\delta=  \frac{ \epsilon}{3}$ atau $\delta <  \frac{ \epsilon}{3}$ . Tetu saja sebarang $\delta$ yang lebih kecil akan memenuhi. Sekarang kita tulis buktinya secara formal berikut ini.

Andaikan diberikan $\epsilon >0$ pilih $\delta =  \frac{ \epsilon}{3}$ sedemikian hingga jika $0 <|x-4|< \delta$ maka
$\begin{align} |(3x-7)-5| &= |3x-12| \\ &=|3(x-4)| \\ &= 3|x-4| \\ & < 3 \delta = \epsilon \end{align}$

Atau bisa juga seperti di bawah ini.

Andaikan diberikan $\epsilon >0$ pilih $\delta <  \frac{ \epsilon}{3}$ sedemikian hingga jika $0 <|x-4|< \delta$ maka
$\begin{align} |(3x-7)-5| &= |3x-12| \\ &=|3(x-4)| \\ &= 3|x-4| \\ & < 3 \delta < \epsilon \end{align}$

Jadi, terbukti bahwa $\lim_{x \rightarrow 4} 3x-7 =5$.

Referensi: Kalkulus 1 Purcell

Baca Cara Mengerjakan Soal Limit Fungsi di blog kami yang lain. Terima kasih atas kunjungannya

Comments

Popular posts from this blog

Membuktikan Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif

Cara Membuktikan Ketaksamaan Segitiga Nilai Mutlak