Cara Membuktikan Grup Siklik adalah Grup Komutatif

Pada postingan saya yang lain dengan judul Definisi Grup dijelaskan bahwa misalkan G adalah himpunan dengan operasi *, (G,*) adalah grup apabila memenuhi empat syarat, yaitu operasinya tertutup, bersifat asosiatif, memiliki unsur identitas, dan untuk setiap anggota di G memiliki invers terhadap operasi *. Kali ini admin akan membahas sedikit tentang grup komutatif dan bagaimana cara membuktikan  grup siklik adalah grup komutatif.

Definisi

Suatu grup (G) dengan operasi $*$ dikatakan grup abelian (grup komutatif) bila dan hanya bila ∀ a, b ∈ G berlaku $a*b=b*a$

Dari definisi di atas, G adalah grup abelian apabila G memenuhi syarat tambahan yaitu untuk setiap a, b ∈ G berlaku $a*b=b*a$. Jadi, untuk menunjukkan bahwa suatu G adalah grup abelian kita harus menunjukkan bahwa G adalah grup yang memenuhi sifat komutatif. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Buktikan bahwa jika G grup siklik maka G abelian

Untuk membuktikannya, kita harus tahu apa itu grup siklik. Untuk itu kami berikan dulu definisi grup siklik beserta contohnya berikut ini.

G dikatakan grup siklik apabila terdapat $a \in G$ sehingga $G=(a)$={$a^n \ | \ n \in Z$}, yang artinya G dibangun oleh a. Contoh, himpunan bilangan bulat Z dengan operasi penjumlahan biasa (+) adalah grup siklik karena terdapat $1 \in Z$ sehingga Z={$1×n \ | \ n \in Z$}. 

Sekarang kita lanjutkan pembuktian bahwa apabila G adalah grup siklik maka G abelian berikut ini.

Karena G siklik maka G=(a) untuk suatu $a \in G$. Misalkan G={$a^k \ | \ \in Z$} akan ditunjukkan bahwa $xy=yx$ untuk setiap $x$ dan $y \in G$. Ambil sebarang $x$ dan $y$ dalam G, karena itu kita dapat menuliskan $x=a^m$ dan $y=a^n$ untuk suatu m dan b dalam Z, sehingga $xy=a^ma^n=a^{m+n}=a^{n+m}=a^na^m=yx$. Karena $xy=yx$ untuk setiap $x$ dan $y$ dalam G maka terbukti bahwa grup siklik adalah grup abelian.

Demikian postingan kami yang berjudul Cara Membuktikan Grup Siklik adalah Grup Komutatif, semoga dapat bermanfaat. 

Comments

Popular posts from this blog

Membuktikan Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif

Cara Membuktikan Ketaksamaan Segitiga Nilai Mutlak

Cara Membuktikan Nilai Limit Menggunakan Definisi