Cara Membuktikan Fungsi Kontinu

Apabila grafik suatu fungsi $f(x)$ pada $ A \in R$ digambar pada sistem koordinat kartesius dan gambar grafiknya berkesinambungan maka kita dapat mengatakan bahwa f kontnu pada A. Fungsi f kontinu pada A artinya f kontinu pada setiap titik di A. Sebaliknya, jika gambar grafik ada yang terputus pada suatu titik maka dikatakan f diskontinu pada titik tersebut. Perhatikan gambar grafik fungsi berikut ini yang memperlihatkan kekontinuan atau ketidakkontinuan fungsi $f(x)$ pada titik $c$.
Pada postingan ini, cara yang kita gunakan untuk membuktikan kekontinuan fungsi f(x) di suatu titik c adalah dengan memperlihatkan bahwa:
  1. $\lim_{x \rightarrow c} f(x) $ ada
  2. $ f(x) $ ada
  3. $\lim_{x \rightarrow c} f(x) =f(c) $
Tiga syarat di atas didasarkan pada definisi kekontinuan fungsi di suatu titik sebagai berikut.
Andaikan $f$ terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung $c$, kita katakan bahwa f kontinu pada c jika $\lim_{x \rightarrow c} f(x)=f(c) $.
Penjelasannya adalah sebagai berikut.
  • Yang dimaksud selang terbuka adalah sub himpunan bilangan real yang dinotasikan dengan $(a, b)$ atau {$ x \in R  \ |  \ a<x<b$}
  • Yang mengandung $c$ maksudnya $c \in (a, b)$
  • $\lim_{x \rightarrow c} f(x) $ ada; maksudnya limit $f(x)$ untuk $x$ mendekati $c$ ada.  $\lim_{x \rightarrow c} f(x) $ ada  apabila  $\lim_{x \rightarrow c^- } f(x)= \lim_{x \rightarrow c^+} f(x) $
  • $f(x)$ ada artinya f terdefinisi pada x atau f memiliki nilai pada x.
Contoh soal:
  1. Fungsi $f(x)=x+1$ kontinu di $x=1$ karena  $\lim_{x \rightarrow 1} f(x)= \lim_{x \rightarrow 1} (x+1)=2=f(1) $
  2. Fungsi $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1} \ \ \ &; x \neq 1 \\ 1 &; x=1 \end{cases}$ tidak kontinu di $x=1$ karena meskipun g(x) terdefinisi pada x=1 yaitu g(x)=1, tetapi tidak sama nilainya dengan $\lim_{x \rightarrow 1} f(x)=\lim_{x \rightarrow 1}  \frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1}  (x+1)=2$.
Latihan:

Tentukan konstanta A dan B agar fungsi $f(x) = \begin{cases} Ax-B \ \ \ &; x<1 \\ 3x &; x=1 \\ Bx^2-A &; x>1 \end{cases}$ kontinu pada $x=1$

Referensi: Kalkulus Koko Martono

Comments

Popular posts from this blog

Membuktikan Fungsi Injektif, Surjektif, dan Bijektif

Cara Membuktikan Ketaksamaan Segitiga Nilai Mutlak

Cara Membuktikan Nilai Limit Menggunakan Definisi