Posts

Cara Membuktikan dengan Induksi Matematika Sederhana

Kita telah menyinggung sedikit pembuktian dengan induksi matematika di dalam tulisan Cara Membuktikan dalam Matematika. Secara khusus kita akan membahas Cara Membuktikan dengan Induksi Matematika Sederhana.  “Induksi matematika adalah suatu metode pembuktian deduktif yang digunakan untuk membuktikan pernyataan matematika yang bergantung pada himpunan bilangan yang terurut rapi (well ordered set), seperti bilangan asli ataupun himpunan bagian tak kosong dari bilangan asli” (smatika.blogspot.com, induksi matematika).Prinsip induksi matematika sederhana atau dikenal dengan Prinsip Induksi Matematika Pertama adalah sebagai berikut.Misalkan {P(n): n $ \in N$} kumpulan pernyataan untuk setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan. Jika P(n=1) benar; dan jika P(n=k) benar mengakibatkan P(n=k+1) juga benar; Maka pernyataan P(n) benar untuk setiap n.Dengan prinsip di atas, maka untuk membuktikan pernyataan P(n) benar untuk semua bilangan asli n, kita lakukan dengan dua langkah berikut ini.La…

Cara Membuktikan Ketaksamaan Segitiga Nilai Mutlak

Image
Misalkan segitiga ABC memiliki panjang sisi AB, BC, dan CD maka $AB < BC+CD $. Begitu juga $BC < AB+CD $ dan $CD < AB+BC $, yang artinya, penjumlahan dua sisi segitiga akan melebihi sisi ketiga yang lainnya. Adapun ketaksamaan segitiga dalam bentuk nilai mutlak adalah sebagai berikut.Jika , maka  Bukti :
Kita gunakan   dan  untuk membuktikan ketaksamaan segitiga di atas. Dengan menjumlahkan kedua ketaksamaan tersebut diperoleh:. Dari sini, dengan menggunakan $|x| \le c \Leftrightarrow -c \le x \le c$ maka kita  peroleh  (terbukti).Sekarang kita buktikan untuk (setara dengan) di bawah ini.Misalkan $|a| \le c $ maka $-c \le a \le c $. Dengan menerapkan |a|=c maka $-|a| \le a \le |a|$.Akibat dari Ketaksamaan segitiga diatas adalah: 1.  2. Bukti 1. Kita tulis . Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga diperoleh:. Kemudian kita kurangi dengan sehingga kita dapatkan . Bukti 2. Gantilah  pada Ketaksamaan Segitiga dengan –b, sehingga diperoleh . Karena  maka diperoleh bahwa . Ketaksama…

Cara Membuktikan Grup Siklik adalah Grup Komutatif

Pada postingan saya yang lain dengan judul Definisi Grup dijelaskan bahwa misalkan G adalah himpunan dengan operasi *, (G,*) adalah grup apabila memenuhi empat syarat, yaitu operasinya tertutup, bersifat asosiatif, memiliki unsur identitas, dan untuk setiap anggota di G memiliki invers terhadap operasi *. Kali ini admin akan membahas sedikit tentang grup komutatif dan bagaimana cara membuktikan  grup siklik adalah grup komutatif.

Definisi

Suatu grup (G) dengan operasi $*$ dikatakan grup abelian (grup komutatif) bila dan hanya bila ∀ a, b ∈ G berlaku $a*b=b*a$

Dari definisi di atas, G adalah grup abelian apabila G memenuhi syarat tambahan yaitu untuk setiap a, b ∈ G berlaku $a*b=b*a$. Jadi, untuk menunjukkan bahwa suatu G adalah grup abelian kita harus menunjukkan bahwa G adalah grup yang memenuhi sifat komutatif. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Buktikan bahwa jika G grup siklik maka G abelian

Untuk membuktikannya, kita harus tahu apa itu grup siklik. Untuk itu kam…

Cara Membuktikan Nilai Limit Menggunakan Definisi

Sebelum kita membuktikan nilai limit suatu fungsi dengan menggunakan definisi, tentu kita harus mengetahui definisnya terlebih dahulu. Limit $f(x)$ untuk $x$ mendekati $c$ adalah $L$ ditulis $\lim_{x \rightarrow c} f(x)=L$ jika dan hanya jika: Untuk setiap $\epsilon >0$ terdapat $\delta >0$ sedemikian sehingga jika $0 <|x-c|< \delta$ maka $|f(x)-L|<0$ Sebelum kita menggunakan definisi di atas, kita harus benar-benar memahami arti dari setiap kata dalam definisi tersebut agar kita dapat memahami definisi tersebut dengan benar. Limit dalam bahasa sehari-hari artinya batas. L adalah limit suatu fungsi f(x) maksudnya adalah batas dari nilai-nilai yang dihasilkan apabila kita memberikan nilai-nilai x yang mendekati nilai c ($x \neq c$) baik dari arah kiri maupun dari arah kanan. 
Misalnya, fungsinya adalah $f(x)=x-2$ maka nilai limitnya adalah 1 untuk nilai-nilai x yang mendekati 3; nilai limitnya adalah 2 untuk nilai-nilai x yang mendekati 4; nilai limitnya adalah -1 untuk…

Cara Membuktikan Fungsi Kontinu

Image
Apabila grafik suatu fungsi $f(x)$ pada $ A \in R$ digambar pada sistem koordinat kartesius dan gambar grafiknya berkesinambungan maka kita dapat mengatakan bahwa f kontnu pada A. Fungsi f kontinu pada A artinya f kontinu pada setiap titik di A. Sebaliknya, jika gambar grafik ada yang terputus pada suatu titik maka dikatakan f diskontinu pada titik tersebut. Perhatikan gambar grafik fungsi berikut ini yang memperlihatkan kekontinuan atau ketidakkontinuan fungsi $f(x)$ pada titik $c$. Pada postingan ini, cara yang kita gunakan untuk membuktikan kekontinuan fungsi f(x) di suatu titik c adalah dengan memperlihatkan bahwa: $\lim_{x \rightarrow c} f(x) $ ada$ f(x) $ ada$\lim_{x \rightarrow c} f(x) =f(c) $ Tiga syarat di atas didasarkan pada definisi kekontinuan fungsi di suatu titik sebagai berikut. Andaikan $f$ terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung $c$, kita katakan bahwa f kontinu pada c jika $\lim_{x \rightarrow c} f(x)=f(c) $. Penjelasannya adalah sebagai berikut. Yang d…

Cara Membuktikan Tautologi tanpa Tabel Kebenaran

Membuktikan bahwa suatu bentuk proposisi adalah suatu tautologi dapat dilakukan dengan menggunakan tabel kebenaran. Ini merupakan cara yang biasa digunakan. Apabila nilai kebenaran suatu bentuk proposisi pada kolomnya semuanya bernilai benar maka bentuk proposisi tersebut disebut tautologi. 
Selain dari menggunakan tabel kebenaran, kita juga dapat membuktikan suatu bentuk proposisi adalah tautologi dengan cara penjabaran, yaitu mengganti bentuk-bentuk proposisi yang dimuatnya dengan bentuk lain yang ekivalen sampai diperoleh bentuk proposisi yang lebih sederhan yang telah dikenal sebagai tautologi. 
Jika bentuk proposisinya adalah suatu ekivalensi maka pembuktiannya sebagai tautologi dilakukan dengan cara menjabarkan bentuk di sebelah kiri atau kanan lambang ekivalensi sampai diperoleh ruas kiri sama bentuknya dengan ruas kanan. 
Berikut ini adalah contoh cara membuktikan tautologi dengan penjabaran.

Buktikan  $p \ ∧\  (p \ ∨\ q ) \ ⇔ \ p$ adalah suatu tautologi!

Dengan cara menjabar…

Cara Membuktikan Sin 30 derajat

Image
30 derajat merupakan sudut yang istimewa yang bisa dicari nilai sinusnya tanpa menggunakan kalkulator. Berbeda dengan sudut-sudut seperti 35°, 50°, dan sudut-sudut lainnya yang tidak termasuk sudut istimewa, mencari nilai sinus dan perbandingan trigonometri lainnya harus menggunakan kalkulator, tentunya kalkulator yang mendukung pencarian nilai perbandingan trigonometri. Adapun cara untuk menentukan atau membuktikan nilai sinus 30 derajat adalah $\frac{1}{2}$ dilakukan  sebagai berikut.
Pertama, gambarlah segitiga sama sisi dengan panjang sisinya  1 satuan panjang. Diketahui bahwa sudut-sudut segitiga sama sisi masing-masing besarnya adalah 60°. Gambarnya diberikan sebagai berikut. Kedua, buatlah garis tinggi yang ditarik dari salah satu titik segitiga. Diketahui bahwa garis tinggi pada segitiga sama sisi yang ditarik dari titik segitiga tersebut membagi sudut tersebut sama besar, sehingga sudut 60° dibagi 2 adalah 30°. Gambarnya adalah sebagai berikut.




Ketiga, perhatikan segitiga yang…